Problèmes additifs et soustractifs
B. Wozniak, directeur d’école dans l’Académie, est également le co-auteur de l’ouvrage reproduit ci-contre où est exposée la proposition pédagogique présentée brièvement ici.
Voici le diaporama qui a servi de support à sa présentation
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Ainsi que, pour résumer, quelques notes prises ce mercredi :
Introduction : des représentations divergentes
| Pour l’enseignant une situation problème c’est : | Pour l’élève, c’est : |
| S’approprier le problème En avoir une représentation Analyser les données Comparer ce problème à d’autres problèmes connus Avoir conscience qu’il existe différents types de problèmes Dessiner, schématiser le problème |
Écrire quelque chose Faire une opération Faire une phrase pour répondre |
Difficultés rencontrées par l’élève :
Le lien entre les transformations analogiques (les actions que l’on mène, l’énoncé du problème dans un contexte donné) et les opérations symboliques n’est pas évident, même si on peut penser le contraire. Par exemple la présence du verbe enlever n’implique pas forcément qu’il faille faire une soustraction pour résoudre le problème. S’appuyer sur le lexique ne permet pas de résoudre tous les problèmes. En variant les situations auxquelles on confronte les élèves, on évitera cet écueil.
L’enjeu majeur pour le maître est d’automatiser le processus de reconnaissance des opérations, et donc d’abord du type de problème dont il est question. On sait qu’il existe 21 types de problèmes additifs, pour ne parler que de ceux-là, pouvant être résolus par l’addition ou par la soustraction, l’enjeu est d’amener l’élève à fonctionner par analogie pour comparer le problème qu’il a sous les yeux avec les 21 situations de référence qu’il connait, de retrouver celle dont il est question et d’y associer la procédure de résolution générique qu’il a apprise.
L’élève expert assimile très vite le problème auquel il est confronté à la situation de référence et la procédure associée découle de cette représentation : dessin, schéma, opération de situation (addition à trou, par exemple) puis opération générique de référence (la soustraction, pour poursuivre notre exemple).
Les obstacles rencontrés par les élèves ne sont pas les mêmes selon qu’il se trouve confronté à un problème qu’il a déjà rencontré ou à une situation inconnue.
- Dans ce cas, l’élève est d’abord confronté à la compréhension de la situation, qui passera alors par la manipulation, et à la reconnaissance du fait que celle-ci n’est mas encore connue. Ensuite, le second obstacle sera pour l’élève d’élaborer une première trace de la procédure de résolution. Enfin, l’obstacle sera soit d’institutionnaliser la procédure nouvellement acquise.
- Si l’élève a déjà en mémoire le type de problème, l’obstacle sera de transformer l’énoncé en une situation connue (c’est comme quand on cherchait….), ensuite, l’élève n’aura qu’à reconnaître la procédure associée au type de problème reconnu, enfin, il faudra qu’il ait automatiser la procédure de résolution en question pour la suivre.
On voit que l’essentiel de l’activité mentale de l’élève qui résout un problème réside dans l’analogie, la compréhension de celui-ci et non dans sa résolution proprement dite. Proposer des activités d’aide qui remédient à la résolution du problème, à la rédaction d’une réponse, c’est commencer par la fin !
Pour aider vraiment les élèves, il conviendra d’expliciter ces différents obstacles et les trois étapes de la résolution du problème : compréhension, analogie, résolution. Cela doit être contractualisé avec les élèves : “pour résoudre un problème je dois d’abord…. Puis…. Enfin… ” dans le but de ne pas les laisser seuls face à ces obstacles, notre action ayant pour but ultime de lutter contre l’inéquité scolaire liée aux inégalités sociales.
En conséquence, il faut veiller à apporter l’exhaustivité de tous les types de problèmes, certains étant plus facilement résolus que d’autres. Cet apport se fera de manière structurée et progressive.
Pourquoi travailler à partir d’une typologie de problèmes ?
- Pour mettre en place une progression
- Pour permettre à l’élève d’effectuer des catégories de comparaison
- Ces catégories et ces analogies vont permettre à l’élève de construire le concept mathématique
- Le processus d’identification par analogie permet l’automatisation
- L’automatisation permet enfin de libérer le coût cognitif de la procédure
Comment agir et organiser les apprentissages ?
Typologie des problèmes pour les problèmes additifs :
- Problèmes de transformation (ete)
- Composition d’états ou combinaison (eee)
- Comparaison d’états (ece) ces problèmes sont les plus échoués car ils sont rarement proposés. Exemple : j’ai 12 jetons dans un boîte et 7 jetons en plus dans une autre boîte. Combien y a-t-il de jetons dans la seconde boîte ? Ou alors : j’ai 12 jetons dans un boîte et 19 dans uns autre, combien y a-t-il de jetons en plus dans la seconde boîte ?
- Combinaisons de transformations (problème du bus dans calcul@Tice)
Typologie des problèmes multiplicatifs
- Problèmes multiplicatifs de configuration rectangulaire. Comme dans le jeu des enveloppes.
- Problèmes de division partage et de division groupement. Même situation, mais cette fois on recherche l’élément connaissant le total et le nombre de paquets (division partage), et non plus le total. Ou alors on cherche le nombres de paquets connaissant le tout et l’élément (division groupement)
Ces différents type de problèmes seront repartis au fil des années scolaires en conseil de cycle, ce qui suppose une organisation d’équipe pour l’école.
Comment s’organise une séquence d’enseignement de procédure de résolution ?
- Découverte ou apprentissage de la situation. Celle-ci peut se faire par des manipulations dès la maternelle, dès la maternelle également on pourra faire le passage de la manipulation au dessin puis à la schématisation. Attention, alors qu’en GS les élèves vont jusqu’au bout de la manipulation pour trouver le résultat, dès le CP, la manipulation ne servira qu’à aider les élèves à se représenter le problème, éventuellement à valider leur réponse, elle n’est pas une procédure de résolution. Réaliser l’action, la mimer, est indispensable à l’élève pour qu’il comprenne la situation. Les élèves devront ensuite dissocier cette situation des situations qu’ils connaissent déjà, se rendent compte qu’ils n’ont pas encore rencontré cette situation et qu’ils ne disposent donc pas d’opération générique pour la résoudre ; où au contraire que c’est comme…
- Rédaction de l’outil de résolution. Pour l’élève se pose la question : quelle trace le maître veut-il que je laisse ? En effet, il ne dispose pas de procédure identifiée, le maître se contentera-t-il cette fois d’un dessin, d’un schéma pu d’une opération à trous, alors que d’habitude il exige une opération générique ?
- Entraînement : apprentissage mis en mots, on utilise l’énoncé du problème plutôt que la manipulation ou le dessin. Mais on reste sur le même contexte. On sait que les différents habillages de l’énoncé sont sources de complexification : mettre les éléments dans l’ordre chronologique ou pas, placer la question au début ou à la fin, varier les données numériques, donner ou pas des informations inutiles… Toutes ces variables front utiles pour faire avancer les élèves experts. Le second obstacle ici viendra de l’automatisation de la procédure générique. Je reconnais le problème -> j’applique la procédure.
- Réinvestissement : on sort cette fois du contexte, certains élèves vont alors avoir recours au schéma ou au dessin pour mettre en évidence l’analogie (le schéma du problème des fleurs, c’est le même que celui qu’on avait dessiné pour le problème de la boîte jaune). Le réinvestissement s’étale aussi dans les autres années de la scolarité. La création d’énoncés par les élèves permet à l’enseignant de vérifier que ceux-ci ont bien identifié les caractéristiques du type de problème en question.
- Évaluation. En cas d’échec, se poser les questions suivantes : l’élève sait-il évoquer la situation en question ? Sait-il identifier les données numériques connues et inconnues ainsi que ce qui les lie ? Sait-il identifier le but à atteindre ? Sait-il évoquer la catégorie de problème en question ? Connaît-il la procédure générique de résolution de ce type de problème ?
- Entretien.
Pour aller plus loin
Vous pouvez vous procurez l’ouvrage en suivant ce lien : Scérén
Vous pouvez télécharger les fiches outils de la méthode proposée en suivant ce lien : site compagnon
