Pour résumer cette conférence
Les difficultés rencontrées par les élèves
Les changements mathématiques
Quand on aborde la notion de nombre décimal, les connaissance et les concepts liés à la notion même de nombre sont à reconsidérer. Il faut alors en déconstruire certains :
La notion de successeur et de prédécesseur n’a plus de sens dès lors que l’on aborde la question des décimaux. Puisque l’on peut toujours trouver un nombre ç intercaler entre deux nombres, c’est la notion d’infini qui entre ici en compte : entre deux nombres, il y a une infinité de nombres !
Les règles de succession de comparaison entre les nombres ne sont plus les mêmes avec les nombres décimaux, 3,10 ne suit pas 3,9 car les deux parties du nombres ne sont pas un couple d’entiers.
Le sens des opérations est également à reconsidérer, multiplier par 0,5 n’est pas un agrandissement
Les obstacles liés à la représentation des élèves
- Les élèves confondent partage égalitaire et partage inégalitaire.
- Les élèves ne prennent pas en compte l’unité donnée pour écrire la fraction d’une représentation donnée
- Les élèves confondent l’écriture fractionnaire et le nombre qu’elle représente
- Ils ne prennent pas en compte l’échelle donnée pour lire la graduation d’un point sur une droite graduée
- Ils ne respectent pas la nécessité du partage à parts égales
- Ils n’admettent pas qu’un entier est aussi un décimal
- Ils confondent a/b et a,b
- Ils appliquent aux décimaux les règles qui fonctionnent avec les entiers (un nombre qui s’écrit avec beaucoup de chiffres est forcément plus grand qu’un nombre qui s’écrit avec peu de chiffres, c’est vrai dans les entiers, mais il faut casser cette idée dès le cycle 2)
- Ils ne comprennent pas les notions de dixième, centièmes, millièmes : 4,1, c’est pareil que 4,01 ou 4,0001
Connaissances mathématiques préalables à l’étude des fractions et des nombres décimaux
points précis à travailler dans la première période du CM1
- Maîtriser les tables de 2,3,4,5 et 10
- Maîtriser la multiplication et les division des puissances de 10
- Être capable de trouver les multiples et les diviseurs d’un nombre donné
- Contrôler les écarts sur la file numérique
- Situer un nombre sur une file numérique en respectant son échelle
- Différencier partage équitable et partage non-équitable
- Savoir partager un segment de longueur donné en plusieurs segments de la même longueur. Nombre, calcul et géométrie se travaillent simultanément, et le travail sur les fractions ne vient pas après un travail sur les entiers…
Les contraintes de l’enseignant
Contraintes des programmes
(cf. le nombre au cycle 3, document d’accompagnement des programmes de 2008, et aussi le nombre au collège). On y constate que la fraction est abordée à l’école dans un contexte d’aires ou de segments (contexte essentiellement graphique).
Contraintes didactiques
- L’écriture sous la forme de quotient : la fraction a 5 significations (cf. diaporama)
- L’écriture sous forme de somme : le nombre décimal peut s’écrire sous forme d’une somme explicite ou non : 3,45 c’est 3 + 4 dixièmes + 5 centièmes
- L’écriture sous forme de produit : le nombre décimal peut être la forme d’un produit 2,85 m, c’est 285×10 puissance -2 m, ou 2 mètre et 85 cm
Réponses
La construction du concept de fraction va suivre chez l’enfant le même chemin que celui suivi jadis par l’humanité entière : des situations de comparaison de longueur aux problèmes de division-quotition.
